Thông tin sản phẩm

Định lý nhỏ Fermat và Phi hàm Euler

  • Hàm phi ((varphi)) Euler của một số nguyên dương (n) được định nghĩa là số các số nguyên dương (m) không vượt quá (n) sao cho ((m,n)=1).
    • Ví dụ, số 10 có 4 số nguyên dương không vượt quá 10 và nguyên tố cùng nhau với 10, đó là 1, 3, 7, 9. Như vậy, (varphi(10)=4).
  • Nếu (n=p) là số nguyên tố, dễ thấy (varphi(p)=p-1).
  • Nếu (n=p^k) thì (varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}).
    • Chứng minh: Có tổng cộng (p^k) số nguyên dương cần xét. Trong số đó, các số (m) có ước chung lớn nhất với (n) khác 1 sẽ có dạng (m=px), với (x) là bất cứ số nguyên dương nào đảm bảo (pxleq p^k), như vậy có tổng cộng (p^{k-1}) giá trị (x) như thế. Suy ra số các số nguyên tố cùng nhau với (n) là (p^k-p^{k-1}). (QED)
  • Nếu (n=p_1p_2) (với (p_1 neq p_2)) thì (varphi(p_1p_2) = varphi(p_1)timesvarphi(p_2)).
    • Chứng minh: Có tổng cộng (p_1p_2) số nguyên dương cần xét. Trong số đó, các số (m) có ước chung lớn nhất với (n) khác 1 sẽ có dạng (m=p_1x) hoặc (m=p_2x) sao cho (mleq n). Trong trường hợp đầu, (x) trải dài từ (1) đến (p_2). Trong trường hợp sau, (x) trải dài từ (1) đến (p_1). Tuy nhiên, có hai giá trị (m) được đếm hai lần, đó là (p_1p_2). Như vậy có tổng cộng (p_1+p_2-1) số không nguyên tố cùng nhau với (n). Như vậy:

[varphi(n)=p_1p_2-(p_1+p_2-1)\ =p_1p_2 – p_1 – p_2 + 1\ =p_1(p_2-1)-(p_2-1)\ =(p_1-1)(p_2-1)\ =varphi(p_1)timesvarphi(p_2)]

  • Nếu (n=ab) (với (a,b) nguyên tố cùng nhau) thì (varphi(ab)=varphi(a)timesvarphi(b)) (trường hợp tổng quát hơn của định lý trước).
    • Chứng minh: Tất cả các số nguyên dương (m) không vượt quá (n=ab) có dạng (m=aq+r) với (q,r) là các số nguyên lần lượt nằm trong khoảng ([0,b-1]) và ([1,a]). Công việc cần làm là đếm xem có bao nhiêu cặp giá trị ((q,r)) thỏa bài toán.

      Bước 1: Chọn (r). Nhận thấy rằng (d=(r,a)neq 1), nếu không, (mvdots d) và (nvdots d) suy ra ((m,n)neq 1). Xét việc chọn các giá trị (r) thỏa mãn ((r,a)=1), có tổng cộng (varphi(a)) giá trị (r) như thế.

      Bước 2: Chọn (q). Với mỗi giá trị (r) đã chọn, có tổng cộng (b) số (m=aq+r) cần phải xét, với (q) chạy từ (0) đến (b-1). Vì (a) và (b) nguyên tố cùng nhau nên các số (r), (a+r), (2a+r), (dots), ((b-1)a+r) khi đem chia cho (b) lấy phần dư sẽ cho ra các kết quả đôi một khác nhau, tạo nên tập hợp ({0,1,dots,b-1}). Ta cần chọn ra các giá trị (m) nguyên tố cùng nhau với (b). Trong trường hợp đó, kết quả (m mod b) phải ra một số nguyên tố cùng nhau với (b) và khác 0. Có (varphi(b)) giá trị (q) để tạo ra các giá trị (m) như thế.

      Các số nguyên được chọn qua hai bước sẽ vừa nguyên tố cùng nhau với (a) và (b), mặt khác ((a,b)=1), nên chúng cũng nguyên tố cùng nhau với (ab). Áp dụng quy tắc nhân thì có (varphi(a)varphi(b)) số. (QED)

  • Định lý Euler: Với mọi số nguyên dương (n) nguyên tố cùng nhau với (a), ta có:

[a^{varphi(n)}equiv 1pmod{n}]

Định lý nhỏ Fermat chỉ ra rằng nếu (p) là một số nguyên tố thì:

[a^p equiv a pmod{p}\ Leftrightarrow (a^p – a) vdots p]

Nếu ((a,p) = 1) thì ta có ((a^{p-1} – 1) vdots p Leftrightarrow a^{p-1} equiv 1pmod{p}). Đây là một trường hợp nhỏ của định lý Euler với (n=p)

Chuyên mục: Thông tin sản phẩm

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button